Магазин электронных документов
Суммирование конечных сумм и рядов, содержащих тригонометрические функции
  • Суммирование конечных сумм и рядов, содержащих тригонометрические функции
  • Суммирование конечных сумм и рядов, содержащих тригонометрические функции
  • Суммирование конечных сумм и рядов, содержащих тригонометрические функции

Суммирование конечных сумм и рядов, содержащих тригонометрические функции (Дипломная работа по предмету математика)

  • ID работы: 702
  • Тип: Дипломная работа, 5 курс
  • Раздел: технические науки
  • Предмет: математика
  • Страниц: 22
  • Год: 2009
  • Формат файла: RAR
  • Продавец: leka66
Оранжевым цветом выделены страницы доступные к просмотру только после покупки подписки

dp.doc

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

В дипломной работы содержится 22 страниц, входящих в файлы .doc, .rtf, docx, которые вы сможете скачать после оплаты. Доступно для просмотра в бесплатном режиме: 13 страниц.

Прикрепленные фалы, которые вы сможете сразу после оплаты диплома скачать:
dp.rar (87.375 кб)

Ключевые слова:конечные суммы, ряды

Уникальность текста: 41%

Содержимое архива: Суммирование конечных сумм и рядов, содержащих тригонометрические функции


dp.rar (87,0 кб)
  dp.doc (362,0 кб)


Описание работы (от продавца):


Суммирование конечных сумм и рядов, содержащих тригонометрические функции
Выпускная квалификационная работа по математике

2006 г.

Содержание
Введение________________________________________________ 3
Глава 1 Признаки Абеля и Дирихле.
§1. Преобразование Абеля._________________________________________ 5
§2 Признаки Абеля и Дирихле.______________________________________ 6
§3 Метод степенных рядов._________________________________________10
Глава 2.Практическая часть.
§1 Суммирование конечных сумм, доказательство функций._____________12
§2.1 Способ№2, суммирования конечных сумм._______________________ 15
§2.2 Суммирование sinn (kx) и cosn (kx), где n>2,
используя формулы Эйлера.________________________________________17
Заключение______________________________________________20
Список литературы_______________________________________ 21

Введение
В школьном курсе алгебры и начала анализа обычно рассматривают суммы, состоящие из конечного числа слагаемых. Исключением является сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
Само по себе суммирование рядов, последовательностей, интегралов- это вычесление соответственно сумм рядов, пределов последовательностей, значений интегралов. Термин «суммирование» обозначает и само определение суммы ряда (предела последовательности, значения интеграла), когда в обычном определении эти значения не существуют, т.е. ряд (последовательность, интеграл) расходится.
Расходящиеся ряды часто встречаются на практике, они могут получатся при перемножении условно сходящихся рядов, при разложении функции в ряд Фурье, при дифференцировании и интегрировании функциональных рядов и т.д. Расходящиеся ряды и интегралы встречаются, например, в теории электромагнитного поля и других разделах современной физики. Во многих случаях для расходящихся рядов можно найти сумму в обобщенном смысле, обладающую некоторыми основными свойствами обычной суммы сходящегося ряда. Обычно требуется, чтобы из того, что ряд суммируется к , а ряд суммируется к , следовало бы, что ряд суммируется к , а ряд суммируется к .
Кроме того, чаще всего рассматриваются регулярные методы суммирования, т.е. методы, суммирующие каждый сходящийся ряд к его обычной сумме.
В большинстве методов суммирования расходящийся ряд рассматривается, в известном смысле, как предел некоторого сходящегося ряда. А именно, каждый член ряда (1) умножается на некоторый множитель так, чтобы после умножения получился сходящийся ряд (2) с суммой . При этом множители выбираются так, чтобы при некотором непрерывном или дискретном изменении параметра равнялся 1. Тогда члены (2) стремятся к соответствующим членам ряда (1). Если при этом имеет предел, то этот предел называется обобщенной суммой данного ряда (1), соответствующей данному выбору множителей (или данному методу сумирования).
В первой главе мы рассмотрим преобразование Абеля, докажем признаки Абеля и Дирихле и рассмотрим метод степенных рядов. Вторая глава содержит практическую часть.
В практической части «Суммирование конечных сумм и рядов, содержащих тригонометрические функции», в §2 примеры составлены самостоятельно.
Цель данной работы: рассмотреть методику суммирования конечных тригонометрических сумм и рядов.
Для достижения указанной цели, необходимо решить следующие задачи:
 проанализировать научную литературу по теме «суммирование»;
 познакомиться с теорией рядов и применением их для решения различного типа задач;
 подобрать теоретический материал, который может быть использован при изучении темы.

Глава 1 Признаки Абеля и Дирихле.
§1. Преобразование Абеля.
Довольно часто приходится иметь дело сумами парных произведений вида S = αi βi = α1 β1 + α2 β2 +… αm βm (1)
Во многих случаях при этом оказывается полезным следующее элементарное преобразование, указанное, Абелем.
Ведем в рассмотренные суммы В1 = β1, В2 = β1 + β2, В3 = β1 + β2 + β3, … , Вm = β1 + β2 + … + βm. Тогда, выражая множители βi через эти суммы, β1 = В1, β2 = В2 - В1, β3 = В3 – В2, … , βm = Вm - Вm-1 сумму S можно записать в виде S = α1 β1 + α2 (В2 - В1) + α2 (В3 – В2) + … + αm (Вm - Вm-1) Если раскрыть скобки и иначе сгруппировать члены, то и получим окончательную формулу.
S = αi βi = (α1 - α2) В1 + (α2 – α3) В2 + …+ (αm-1 – αm) Вm-1 + αm βm= (αi- - αi+1 ) Вi + αm Вm (2)
Основываясь на формуле (2), выведем теперь следующую оценку для сумы указанного вида :
Лемма : Если множитель αi , не возрастают (или не убывают), а суммы Вi все ограничены по абсолютной величине числом L: |Вi| ≤ L (i = 1,2,…,m), то |S|= ||αi βi | L( |α1 |+ 2| αm | ).
Действительно так как все разности во (2) одного знака, то
|S| ≤ (αi - αi+1 ) L+| αm | L= L(|α1 – αm |+ | αm |)≤. L(|α1|+2| αm |).
Нетрудно видеть, что если множители аi не возрастают и положительны то оценку можно упростить:
|S|=| αi βi |≤ L α1 (3)
Этими оценками мы будем не раз пользоваться по разным поводам. Сейчас их применим к выводу критериев сходимости.

§2 Признаки Абеля и Дирихле
Рассмотрим ряд: anbn = a1b1 + a2b2 +…+ anbn + … , (W)
где {an} и {bn} – две последовательности вещественных чисел.
Следующие предположения относительно каждой из них в отдельности обеспечивают сходимость этого ряда.
Признак Абеля: Если ряд bn= b1+ b2+…+ bn… (B)
сходится, а числа an образуют монотонную и ограниченную последовательность |an|≤K(n=1,2,3,…), то ряд (W) сходится.
Признак Дирихле: Если частичные суммы ряда (B) в совокупности ограничили: lim an = 0 , то ряд (W) сходится.
В обоях случаях для установления сходимости ряда (W) мы прибегнем к принципу сходимости произвольных рядов. Рассмотрим поэтому сумму
ak bk = an+i bn+I ;она имеет вид (1) , если положить αi = an+I , βi = bn+I. Попытаемся оценить эту сумму с помощью леммы.
При предположениях Абеля, по заданному > 0 Найдется такой номер N, что при n > N неравенство | bn+I + bn+2 +…+ bn+p|< будет выполняться, каково бы ни было p (принцип сходимости). Следовательно, за число L, упоминавшееся в лемме, можно принять .Имеем тогда при n > N и m = 1, 2, 3,… : | ak bk|≤ ( |an+1| +2| an+m |) ≤ 3K и доказывает сходимость ряда (W).
При предположении Дирихле по заданному >0 найдется такой номер N , что при n > N будет |an| < . Кроме того очевидно, | bn+I + bn+2 +…+ bn+p|= |Bn+p – Bn |≤ 2M, и можно в лемме положить L = 2M. Тогда при n > N и m = 1, 2, 3,…, | ak bk| ≤ 2M ( |an+1| +2| an+m |) ≤ 6 M , и сходимость ряда (W) доказана.
Замечание: Признак Абеля вытекает из признака Дирихле. Ведь из предложений Абеля следует, что an имеет конечный предел a. Если переписать ряд (W) виде суммы рядов ( an- a) bn + a bn , то второй из них сходится по предположению, а к первому применим уже признак Дирихле.
Примеры:
Если an , монотонно убывая, стремится к нулю, а bn = (-1)n-1 , то условия теоремы Дирихле, очевидно, выполнены. Следовательно, ряд
(-1)n-1 an= a1 - a2 +a3 -…+(-1)n-1 an ... сходится.
Таким образом, теорема Лейбница получается, как частое следствие теоремы Дирихле.
2) При тех же предположениях относительно an , рассмотрим ряды ( х-любое): an sin nx, an cos nx.
Пологая a=0 и h-x в тождествах (1) и (2)
[ (1) : sin(a+ih) = ;
(2): cos(a+ih)= ] , которые были установлены по другому поводу, мы найдем
sinix= , cosix= , в предположении лишь, что х не имеет вида 2πk (k=0, 1, 2,…). Таким образом, если только x 2πk, обе сумме при любом n по абсолютной величине ограничены числом (подробное доказательство в практической части ).
По признаку Дирихле, оба ряда сходятся при любом значении х, отличном от 2πk, впрочем, первый ряд сходится и при х=2πk, ибо все члены обращаются в ноль.
В частности, например, сходятся ряды
, (1+ +…+ ) и т.п.
3) Большой интерес представляет ряд n вида (12), где { an } - произвольная последовательность вещественных чисел; они носят название рядов Дирихле.
Для них может быть доказана Лемма:
Если ряд (12) сходится при некатором значении x = , то он сходится при всяком x > .
Это сразу следует из теоремы Абеля, так как при x > ряд (12) получается из сходящегося ряда умножением его членов монотонно убывающие положительные множители (n=1,2,3,…)
Существуют ряды (12) «всюду сходящиеся», вроде , и «всюду расходящиеся », вроде . Если исключить эти случаи, то с помощью приведенной леммы легко установить вид существования пограничной абсциссы сходимости λ , такой, что ряд (12) сходится при х > λ и расходится при х < λ.
Например, для ряда , очевидно, λ = 1, а для ряда имеем λ = 0. Если угодно , для «всюду сходящегося» ряда можно считать λ = - ∞ , а для «всюду расходящегося» положить λ = + ∞.
Легко усмотреть сходства со степенными рядами: в обоих случаях «область сходимости» представляет собой сплошной промежуток. Но есть и существенное отличие: область абсолютной сходимости здесь может не совпадать с областью сходимости в один. Так, указанный только что ряд
сходится для x > 0, а обсолютно сходится лишь для x > 1.

§3 Метод степенных рядов.
Этот метод, в существенном, принадлежит Пуассону, который сделал первую попытку применить его к тригонометрическим рядам.Он состоит в следующем…
Пусть дан числовой ряд А:
По данному числовому ряду (А) строится степенной ряд (1)
если этот ряд для 0Примеры:
1. Возьмем расходящийся числовой ряд, рассмотренный Эйлером: =
По данному числовому ряду построим степенной ряд:
= бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, где .Значит S= , т.к. первый член геометрической прогрессии b=1, коэффициент геометрической прогрессии q=-x, следовательно S= . Суммирование по Пуассону-Абелю дает: . Число является «обобщенной суммой» указанного ряда.
2. Возьмем более общий пример: тригонометрический ряд
( ) (1)
Здесь предел не существует, так что согласно необходимому признаку сходимости ряда ряд расходится. По данному числовому ряду построим степенной ряд: (2)
Просуммируем этот ряд по Пуассону-Абелю и составим ряд модулей членов этого ряда: (3).
Признак сходимости Коши дает нам, что :
, так что ряд (3) сходится. Это значит, что ряд(2) сходится абсолютно, а потому сходится. Найдем его сумму.
Заметим, что есть вещественная часть комплексного числа . Поэтому есть вещественная часть выражения , или ,суммируя геометрическую прогрессию, получаем

Глава 2.Практическая часть.
§1 Суммирование конечных сумм, доказательство функций.
Рассмотрим суммирование конечных сумм, умножением на и .

1)


3) Рассуждая аналогично как в (1), вычислим:
4)

5)


6)


§2.1 Способ№2, суммирования конечных сумм.
Функции и можно определить как суммы степенных рядов :


полученных из разложений функций и .
Заменим в разложении
переменную на .
Получим,что (1)
Итак мы доказали формулу: , из которой следует , что
(2)
Складывая равенства (1) и (2) и деля на 2, получим
(3)
Аналогично получим равенство:
(4)
Формулы и ,
называют формулами Эйлера.
Если в формуле , -действительное число, то (5). Отсюда следует, что модуль комплексного числа вида , равен 1: .
Из формулы (5) следует также, что комплексное число с модулем и аргументом , т.е. , можно записать в виде . Положив здесь и, следовательно, , получим -удивительную формулу, открытую Эйлером и устанавливающую связь между числами и . Из формулы (5) следует неожиданное свойство функции - она оказывается периодической на комплексной плоскости и ее период равен . Действительно, т.к. , то для любого имеем


§2.2 Суммирование sinn (kx) и cosn (kx), где n>2, используя формулы Эйлера.
Рассмотрим методику суммирования конечных тригонометрических сумм с помощью формул Эйлера на примере сумм степени n, где n>2. Для начала будем рассматривать данную методику на примере третьей степени, а затем перейдем к вычислению тригонометрических сумм более серьезных степеней: пятой, шестой и восьмой.









Заключение
В нашей дипломной работе «суммирование конечных сумм и рядов, содержащих тригонометрические функции» в теоретической части мы подробно рассмотрели определения и теоремы по данной теме.
В практической части рассмотрели суммирование конечных сумм, а также доказали формулы Эйлера для суммирования рядов, содержащих тригономеитрические функции.
В работе мы более детально рассмотрели методику суммирования sinkx и coskx больших степеней с помощью формул Эйлера. Кроме того, с помощью подробного изложения данной методики, мы добились того что этой дипломной работой могут пользоваться студенты для рассмотрения более сложных доказательств, где применимы данные методы суммирования.

Список литературы
1. Берман Г.Н.Сборник задач по курсу матеметического анализа.-М.:Гостехиздат,1959.-436с.
2. Виленкин Н.Я., Цукерман В.В., Доброхотова М.А., Сафонов А.Н.Ряды.-М.:Просвещение, 1982.-160с.
3. Воробьев Н.Н.Теория рядов.-М.:Наука, 1975.-368с.
4. Демидович Б.П.Сборник задач и упражнений по математическому анализу.-М.:Наука,1966.-544с.
5. Кудрявцев Л.Д.Краткий курс математического анализа: Учеб. для ВУЗов.-М.:Наука, 1989.-736с.
6. Курант Р.Курс дифференциального и интегрального исчисления.-М.:Наука,1967.
7. Сборник задач по теории аналитических функций/под ред.М.А.Евграфова/-М.:Наука, 1964.-328с.
8. Фихтенгольц Г.М.Курс дифференциального и интегрального исчисления: 3-е изд.,исправл.-М.:Т2. Гос.изд-во техн.-теорет. лит-ры, 1951.-864с.
9. Фихтенгольц Г.М.Основы математического анализа.- СПб.: Изд-во «Лань», 2001.-464с.

Последние добавленные работы

  • Технлогический процесс отдлеки стен листами сухой штукатрки.
  • Деятельность ОВД по пресечению массовых беспорядков
  • Свадьба в жизни студентов
  • Финансы - контрольная
  • Решение прикладных задач на ПК в системе программирования Вorland(Turbo)Pascal, в ЭТ МS Excel, в пакете МаthCad
  • КЛАСС ДЛЯ РАБОТЫ СО СТРУКТУРАМИ ТИПА «СЛОВАРЬ»
  • Язык и стиль организационно-распорядительных документов
  • Негосударственные пенсионные фонды РФ: опыт, перспективы развития, оценка эффективности (на примере НПФ "Социум")
  • Диплом «Диагностика кризиса зрелого возраста»
  • Автоматизированное рабочее место менеджера по учету продаж транспортных средств
  • Антикоррупционная экспертиза нормативных правовых актов
  • Управління кредиторською заборгованістю (на прикладі ПП «...»)
  • курсова работа аналіз державного режиму
  • Элементы технологии личностно-ориентированного обучения, как средство формирования мышления учащихся 10-х классов на уроках биол
  • Использование компьютерных технологий в процессе обучения английскому языку
  • Лайкни, если работа понравилась

    Похожие работы